转载：

图论中，用来求最短路的方法有很多，适用范围和时间复杂度也各不相同。

本文主要介绍的算法的代码主要来源如下：

1. Dijkstra: Algorithms（《算法概论》）Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani;《算法竞赛入门经典—训练指南》刘汝佳、陈峰。
2. SPFA (Shortest Path Faster Algorithm): Data Structure and Algorithms Analysis in C, 2nd ed.（《数据结构与算法分析》）Mark Allen Weiss.
3. Bellman-Ford: Algorithms（《算法概论》）Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani.
4. ASP (Acyclic Shortest Paths): Introduction to Algorithms - A Creative Approach（《算法引论—一种创造性方法》）Udi Manber.
5. Floyd-Warshall: Data Structure and Algorithms Analysis in C, 2nd ed.（《数据结构与算法分析》）Mark Allen Weiss.

它们的使用限制和运行时间如下：

1. Dijkstra: 不含负权。运行时间依赖于优先队列的实现，如 $O\left(\left(\mid V\mid+\mid E\mid\right)\log\mid V\mid\right)$
2. SPFA: 无限制。运行时间$O\left(k\cdot\mid E\mid\right)\ \left(k \ll \mid V\mid\right)$
3. Bellman-Ford：无限制。运行时间$O\left(\mid V\mid\cdot\mid E\mid\right)$
4. ASP: 无圈。运行时间$O\left(\mid V\mid+\mid E\mid\right)$
5. Floyd-Warshall: 无限制。运行时间$O\left(\mid V\mid^3\right)$

其中 1~4 均为单源最短路径 (Single Source Shortest Paths) 算法； 5 为全源最短路径 (All Pairs Shortest Paths) 算法。顺便说一句，为什么没有点对点的最短路径？如果我们只需要一个起点和一个终点，不是比计算一个起点任意终点更节省时间么？答案还真不是，目前还没有发现比算从源点到所有点更快的算法。

图的表示

本文中，前四个算法的图都采用邻接表表示法，如下：

1 struct Edge 2 { 3     int from; 4     int to; 5     int weight; 6  7     Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {} 8 }; 9 10 int num_nodes;11 int num_edges;12 vector
        
          edges;13 vector
         
           G[max_nodes]; // 每个节点出发的边编号14 int p[max_nodes]; // 当前节点单源最短路中的上一条边15 int d[max_nodes]; // 单源最短路径长
         
        

Dijkstra 方法

Dijkstra 方法依据其优先队列的实现不同，可以写成几种时间复杂度不同的算法。它是图论－最短路中最经典、常见的算法。关于这个方法，网上有许多分析，但是我最喜欢的还是《算法概论》中的讲解。为了理解 Dijkstra 方法，首先回顾一下无权最短路的算法。无权最短路算法基于 BFS，每次从源点向外扩展一层，并且给扩展到的顶点标明距离，这个距离就是最短路的长。我们完全可以仿照这个思路，把带权图最短路问题规约到无权图最短路问题——只要把长度大于 1 的边填充进一些「虚顶点」即可。如下图所示。

这个办法虽然可行，但是显然效率很低。不过，Dijkstra 方法$EC, EB, ED$分别出发，经过一系列「虚节点」，依次到达$D, B, C$ 。为了不在虚节点处浪费时间，出发之前，我们设定三个闹钟，时间分别为$4, 3, 2$提醒我们预计在这些时刻会有重要的事情发生（经过实际节点）。更一般地说，假设现在我们处理到了某个顶点$u$，和$u$相邻接的顶点为$v_1, v_2, \ldots, v_n$，它们和$u$的距离为$d_1, d_2, \ldots, d_n$。我们为$v_1, v_2, \ldots, v_n$各设定一个闹钟。如果还没有设定闹钟，那么设定为$d$ ；如果设定的时间比$d$晚，那么重新设定为$d$（此时我们沿着这条路比之前的某一条路会提前赶到）。每次闹钟响起，都说明可能经过了实际节点，我们都会更新这些信息，直到不存在任何闹钟。综上所述，也就是随着 BFS 的进行，我们一旦发现更近的路径，就立即更新路径长，直到处理完最后（最远）的一个顶点。由此可见，由于上述「虚顶点」并非我们关心的实际顶点，因此 Dijkstra 方法的处理方式为：直接跳过了它们。

还需要解决的一个问题，就是闹钟的管理。闹钟一定是从早到晚按顺序响起的，然而我们设闹钟的顺序却不一定按照时间升序，因此需要一个优先队列来管理。Dijkstra 方法实现的效率严重依赖于优先队列的实现。一个使用标准库容器适配器 priority_queue 的算法版本如下：

1 typedef pair
        
          HeapNode; 2 void Dijkstra(int s) 3 { 4     priority_queue< HeapNode, vector
         
          , greater
          
            > Q; 5     for (int i=0; i
           
             N = Q.top();12         Q.pop();13         int u = N.second;14         if (N.first != d[u]) continue;15         for (int i=0; i
            
              d[u] + e.weight) {18                 d[e.to] = d[u] + e.weight;19                 p[e.to] = G[u][i];20                 Q.push(make_pair(d[e.to], e.to));21             }22         }23     }24 }
            
           
          
         
        

Bellman-Ford：一个简单的想法

Dijkstra 方法的本质是进行一系列如下的更新操作：

然而，如果边权含有负值，那么 Dijkstra 方法将不再适用。原因解释如下。

假设最终的最短路径为：

不难看出，如果按照 $ (s,\ u_1),\ (u_1,\ u_2),\ \ldots ,(u_k,\ t) $ 的顺序执行上述更新操作，最终$ t $的最短路径一定是正确的。而且，只要保证上述更新操作全部按顺序执行即可，并不要求上述更新操作是连续进行的。Dijkstra 算法所运行的更新序列是经过选择的，而选择基于这一假设：$ s\rightarrow t $的最短路一定不会经过和$s$距离大于$ l(s,\ t) $的点。对于正权图这一假设是显然的，对于负权图这一假设是错误的。

因此，为了求出负权图的最短路径，我们需要保证一个合理的更新序列。但是，我们并不知道最终的最短路径！因此一个简单的想法就是：更新所有的边，每条边都更新$\mid V\mid -1$次。由于多余的更新操作总是无害的，因此算法（几乎）可以正确运行。等等，为什么是$\mid V\mid -1$次？这是由于，任何含有$\mid V\mid$个顶点的图两个点之间的最短路径最多含有$\mid V\mid -1$条边。这意味着最短路不会包含环。理由是，如果是负环，最短路不存在；如果是正环，去掉后变短；如果是零环，去掉后不变。

算法实现中唯一一个需要注意的问题就是负值圈 (negative-cost cycle)。负值圈指的是，权值总和为负的圈。如果存在这种圈，我们可以在里面滞留任意长而不断减小最短路径长，因此这种情况下最短路径可能是不存在的，可能使程序陷入无限循环。好在，本文介绍的几种算法都可以判断负值圈是否存在。对于 Bellman-Ford 算法来说，判断负值圈存在的方法是：在$\mid V\mid -1$次循环之后再执行一次循环，如果还有更新操作发生，则说明存在负值圈。

Bellman-Ford 算法的代码如下：

1 bool Bellman_Ford(int s) 2 { 3     for (int i=0; i
        
          d[edges[e].from] + edges[e].weight 11                && d[edges[e].from] != __inf) {12                 d[edges[e].to] = d[edges[e].from] + edges[e].weight;13                 p[edges[e].to] = e;14                 changed = true;15             }16         }17         if (!changed) return true;18         if (i == num_nodes && changed) return false;19     }20     return false; // 程序应该永远不会执行到这里21 }
        

注记：

1. 如果某次循环没有更新操作发生，以后也不会有了。我们可以就此结束程序，避免无效的计算。
2. 上述程序中第 11 行的判断：如果去掉这个判断，只要图中存在负值圈函数就会返回 false。否则，仅在给定源点可以达到负值圈时才返回 false。

SPFA：一个改进的想法

看来，Bellman-Ford 算法多少有些浪费。这里介绍的 SPFA 可以算作是 Bellman-Ford 的队列改进版。在 Dijkstra 方法中，随着 BFS 的进行，最短路一点一点地「生长」。然而如果存在负权，我们的算法必须允许「绕回去」的情况发生。换句话说，我们需要在某些时候撤销已经形成的最短路。同时，我们还要改变 Bellman-Ford 算法盲目更新的特点，只更新有用的节点。SPFA 中，一开始，我们把源点 $s$放入队列中，然后每次循环让一个顶点$u$出队，找出所有与$u$邻接的顶点$v$，更新最短路，并当$v$不在队列里时将它入队。循环直到队列为空（没有需要更新的顶点）。

可以显示出 SPFA 和 Bellman-Ford 算法相比的一个重大改进的最经典的一个例子，就是图为一条链的情形。

容易看出，如果存在负值圈，这个算法将无限循环下去。因此需要一个机制来确保算法得以中止。由于最短路最长只含有$\mid V\mid -1$条边，因此如果任何一个顶点已经出队$\mid V\mid +1$次，算法停止运行。

SPFA 的代码如下：

1 bool in_queue[max_nodes]; 2 int cnt[max_nodes]; 3 bool SPFA(int s) 4 { 5     int u; 6     queue
        
          Q; 7     memset(in_queue, 0, sizeof(in_queue)); 8     memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); 9     for (int i=0; i
         
           d[u] + e.weight) {21                 d[e.to] = d[u] + e.weight;22                 p[e.to] = G[u][i];23                 if (!in_queue[e.to]) {24                     Q.push(e.to);25                     in_queue[e.to] = true;26                     if (++cnt[e.to] > num_nodes)27                         return false;28                 }29             }30         }31     }32     return true;33 }
         
        

我们已经给出 SPFA 的运行时间为$O\left(k\cdot\mid E\mid\right)\ \left(k \ll \mid V\mid\right)$。实际上，可以期望$k<2$。但是可以构造出使 SPFA 算法变得很慢的针对性数据。

Acyclic Shortest Path

如果图是无圈的（acyclic）（或称为有向无环图，DAG），那么情况就变的容易了。我们可以构造一个拓扑升序序列，由拓扑排序的性质，无圈图的任意路径中，顶点都是沿着「拓扑升序序列」排列的，因此我们只需要按照这个序列执行更新操作即可。显然，这样可以在线性时间内解决问题。

实现上，拓扑排序和更新可以一趟完成。这种算法的代码如下：

1 int indegree[max_nodes]; 2 void asp(int s) 3 { 4     queue
        
          Q; 5     for (int i=0; i
         
           d[w] + edges[G[w][i]].weight && d[w] != __inf) { 20                 d[edges[G[w][i]].to] = d[w] + edges[G[w][i]].weight;21                 p[edges[G[w][i]].to] = G[w][i];22             }23             if (--indegree[edges[G[w][i]].to] == 0)24                 Q.push(edges[G[w][i]].to);25         }26     }27 }
         
        

Floyd-Warshall

与前面四种不同，Floyd-Warshall 算法是所谓的「全源最短路径」，也就是任意两点间的最短路径。它并不是对单源最短路径$\mid V\mid$次迭代的一种渐进改进，但是对非常稠密的图却可能更快，因为它的循环更加紧凑。而且，这个算法支持负的权值。

Floyd-Warshall 算法如下：

1 int dist[max_nodes][max_nodes]; // 记录路径长 2 int path[max_nodes][max_nodes]; // 记录实际路径 3 bool Floyd_Warshall() 4 { 5     for (int i=0; i
        
          dist[i][k] + dist[k][j]13                  && dist[i][k] != __inf && dist[k][j] != __inf) {14                     dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];15                     path[i][j] = path[i][k];16                     if (i == j && dist[i][j] < 0)17                         return false;18                 }19             }20         }21     }22     return true;23 }
        

其中 dist 数组应初始化为邻接矩阵。需要提醒的是， dist[i][i] 实际上表示「从顶点 i 绕一圈再回来的最短路径」，因此图存在负环当且仅当 dist[i][i]<0。初始化时， dist[i][i]可以初始化为0，也可以初始化为$\infty$ 。

显示实际路径

显示实际路径实际上非常简单。利用前四个算法提供的 int *p，还原实际路径的一个方法如下：

1 void printpath(int from, int to, bool firstcall = true) 2 { 3     if (from == to) { 4         printf("%d", from); 5         return; 6     } 7     if (p[to] == -1) return; 8     if (firstcall) printf("%d ->", from); 9     int v = edges[p[to]].from;10     if (v == from) {11         if (firstcall) printf(" %d", to);12         return;13     }14     printpath(from, v, false);15     printf(" %d ->", v+1);16     if (firstcall) printf(" %d", to);17 }

利用 Floyd-Warshall 算法提供的 int **path，还原实际路径的一个方法如下：

1 void showpath(int from, int to) 2 { 3     int c = from; 4     printf("%d -> %d:(%2d)  %d", from, to, dist[from][to], from); 5     while (c != to) { 6         printf(" -> %d", path[c][to]); 7         c = path[c][to]; 8     } 9     printf("\n");10 }